静电偏转板（ElSeparator）
本模块介绍 PASS 中的静电偏转板元件 ElSeparator ，用于模拟带电粒子在均匀横向电场中的偏转。静电偏转板广泛应用于束流注入与引出系统，通过 septum（切割板/丝）将孔径分为无场区（环内循环束流）和有场区（注入或引出束流），仅对越过 septum 的粒子施加电场偏转。
PASS 中的静电偏转板支持 薄透镜 （纯动量踢角）和 厚透镜 （DKD 精确抛物线轨迹）两种模式。用户可通过场强（ ex / ey ， V/m）或积分场（ exl / eyl ， V）两种方式输入偏转参数，与 MAD-X 的定义一致。
代码位置
源文件：
PASS/commands/element/elseparator.py类名：
ElSeparator（继承自Command）注册名：
elseparator核心特征：
薄透镜（
length = 0）：纯动量平移，严格辛厚透镜（
length > 0）：DKD（Drift-Kick-Drift）2 阶辛积分，对均匀电场为精确解场强（
ex/ey）与积分场（exl/eyl）两种输入方式，互相自动推导septum 位置检测：自动判断粒子处于无场区、有场区或撞击极板/丝
支持
tilt绕 \(s\) 轴的 roll 旋转（顺时针，与 MAD-X 一致）支持孔径检查
坐标约定
PASS 采用的六维相空间变量为 \((x, p_x, y, p_y, z, \delta)\) ：
变量 |
符号 |
定义 |
|---|---|---|
|
\(x\) |
水平偏移（相对于参考轨道） |
|
\(p_x\) |
归一化水平动量， \(p_x = P_x / P_0\) |
|
\(y\) |
垂直偏移 |
|
\(p_y\) |
归一化垂直动量， \(p_y = P_y / P_0\) |
|
\(\zeta\) |
纵向坐标， \(\zeta = s - \beta_0 c t\) |
|
\(\delta\) |
相对动量偏差， \(\delta = P / P_0 - 1\) |
其中 \(P_0\) 为参考粒子动量， \(\beta_0 = v_0 / c\) 为参考粒子归一化速度。
物理推导
电场力与归一化踢角
静电偏转板在极板之间产生均匀横向电场 \(E_x\) 或 \(E_y\) 。带电粒子在电场中受力：
粒子以纵向速度 \(v = \beta_0 c\) 穿过长度 \(L\) 的偏转板，停留时间为 \(t = L / (\beta_0 c)\) ，横向动量变化：
归一化到 PASS 坐标（ \(p_x = P_x / P_0\) ， \(P_0 = q_0 B\rho\) ，同种粒子 \(q = q_0\) ）：
其中 \(\mathrm{exl} = E_x \cdot L\) 为积分电场（单位：伏特）， \(B\rho = P_0 / q_0\) 为磁刚度。同理：
量纲验证： \([\mathrm{V}] / ([\mathrm{m/s}] \cdot [\mathrm{T \cdot m}]) = [\mathrm{J/C}] / [\mathrm{kg \cdot m / (C \cdot s)}] = 1\) （无量纲） ✓
与磁偶极子的等效关系
电场对速度 \(\beta_0 c\) 的粒子产生的偏转，等效于磁刚度 \(B\rho\) 的粒子穿过磁场 \(B\) 。由 \(\Delta p_x = E_x L / (\beta_0 c \cdot B\rho)\) 与磁偶极踢角 \(\Delta p_x = B L / B\rho\) 等价：
即 \(1\,\mathrm{MV/m}\) 的电场在 \(\beta_0 \approx 1\) 时等效于 \(B \approx 3.336\,\mathrm{mT}\) 的磁场。
偏转角等效但能量变化不同
上述等效仅指 偏转角相同 。电场与磁场在能量守恒方面有本质区别：
磁场不做功 ： \(\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}\) ， \(\vec{F} \perp \vec{v}\) ，粒子总动量 \(P\) 不变， \(p_x\) 增加的同时 \(p_z\) 减小（动量重新分配）， \(\delta\) 精确不变。
电场做功 ： \(\vec{F} = q\vec{E}\) ，粒子在板内有横向位移 \(\Delta x\) ，电场做功 \(W = qE_x \cdot \Delta x \neq 0\) ，粒子总能量增加， \(\delta\) 变化。
对厚透镜，粒子的横向位移（ DKD 精确解）为：
电场做功对应的 \(\delta\) 变化：
对 \(p_{x0} = 0\) 的粒子，代入 \(\Delta x = \Delta p_x \cdot L / (2 p_z)\) 和 \(\Delta p_x = E_x L / (\beta_0 c \cdot B\rho)\) ：
对 \(\Delta p_x = 30\,\mathrm{mrad}\) 、 \(\beta_0 \approx 1\) ， \(\Delta\delta \approx 4.5 \times 10^{-4}\) ，比典型束流动量展宽（ \(10^{-3} \sim 10^{-2}\) ）小一到两个量级。
Note
PASS 的 DKD 实现中 kick 仅更新 \(p_x\) / \(p_y\) ，不更新 \(\delta\) ，即忽略了电场做功。这是合理近似：
量级可忽略 ： \(\Delta\delta = O(\Delta p_x^2)\) ，对几十 mrad 偏转角为 \(10^{-4}\) 量级
逐粒子正确处理代价高 ： \(\Delta x\) 依赖初始 \(p_{x0}\) ，不同粒子不同；正确算功需要在 DKD 内部逐粒子追踪位移，将简单辛积分器变为迭代方案
薄透镜自洽 ： \(L = 0\) 时 \(\Delta x = 0\) ， \(W = 0\) ， \(\Delta\delta = 0\) ，薄透镜忽略能量变化天然自洽
薄透镜模式
当 length = 0 时，静电偏转板建模为薄透镜：粒子位置不变，仅动量发生瞬时跳变：
该映射的 Jacobi 矩阵为单位矩阵，严格辛。踢角量直接由积分场 \(\mathrm{exl}\) / \(\mathrm{eyl}\) 计算，无需知道极板长度。
厚透镜模式（DKD）
当 length > 0 时，采用 Drift-Kick-Drift（DKD）2 阶辛积分：
其中 Kick 为薄透镜踢角（ \(\Delta p_x = \mathrm{exl} / (\beta_0 c \cdot B\rho)\) ），Drift 为精确漂移映射。
每次 _drift_exact_cpu 调用执行 \(x \mathrel{+}= L \cdot p_x / p_z\) 。 DKD 分三步：第一次 drift 用初始 \(p_{x0}\) ， kick 后第二次 drift 用 \(p_{x0} + \Delta p_x\) ，合并得：
DKD 对均匀电场是精确解
均匀电场下粒子运动方程为常加速度运动。设 \(k = E_x / (\beta_0 c \cdot B\rho)\) （常数），在 \(p_z\) 近似不变的条件下：
积分得抛物线轨迹：
在 \(s = L\) 处，代入 \(\Delta p_x = k L\) ：
与 DKD 结果 完全一致 。这不是巧合——leapfrog（DKD）对常加速度运动是精确的，因为前半段 drift 用初始 \(p_x\) 、后半段用踢后 \(p_{x0} + \Delta p_x\) ，平均正好给出抛物线。
Note
上述精确性前提是 \(p_z \approx \mathrm{const}\) 。对典型偏转角（几十 mrad）， \(p_z\) 变化量 \(\Delta p_z \approx -\Delta p_x^2 / (2 p_z) \sim 10^{-4}\) ，可忽略。因此 DKD 无需额外的 model="exact" 模式。
薄透镜与厚透镜的 kick 一致性
薄透镜和厚透镜的踢角 \(\Delta p_x\) 完全相同 ，均由积分场 \(\mathrm{exl}\) 计算。区别仅在于位置变化：
薄透镜（ \(L = 0\) ） |
厚透镜 DKD（ \(L > 0\) ） |
|
|---|---|---|
kick \(\Delta p_x\) |
\(\mathrm{exl} / (\beta_0 c \cdot B\rho)\) |
相同 |
位置变化 \(\Delta x\) |
0 |
\(p_x L / p_z + \Delta p_x \cdot L / (2 p_z)\) |
septum 检测 |
单点（入口位置） |
入口位置分类 |
对 \(\Delta p_x = 30\,\mathrm{mrad}\) ， \(L = 0.5\,\mathrm{m}\) ， \(p_z \approx 1\) 的典型参数，位置差：
该量级在注入/引出场景中不可忽略（ septum 间隙通常为 mm 量级），因此建议使用厚透镜模式。
Septum 逻辑
静电偏转板的核心物理特征是 并非所有粒子都感受电场 。 septum （切割板/丝）将孔径分为：
无场区 ：循环束流所在区域，粒子不受电场作用，纯漂移
有场区 ：注入/引出束流所在区域，粒子受电场偏转
极板/丝区域 （ septum 厚度内）：粒子撞击切割板/丝，标记为丢失
判定规则
septum 方向由哪个场分量非零直接决定：
\(E_x \neq 0\) （
exl非零）：极板为竖直方向， septum 为竖直线，检测 \(x\) 坐标\(E_y \neq 0\) （
eyl非零）：极板为水平方向， septum 为水平线，检测 \(y\) 坐标
septum_x_position 的符号决定哪侧有场—— 场总是在远离束流中心的一侧 ：
septum_x_position |
无场区（循环束流） |
极板/丝区域 |
有场区（偏转束流） |
|---|---|---|---|
\(> 0\) |
\(x \le s_x\) |
\(s_x < x \le s_x + t\) |
\(x > s_x + t\) |
\(< 0\) |
\(x \ge s_x\) |
\(s_x - t \le x < s_x\) |
\(x < s_x - t\) |
其中 \(s_x\) 为 septum x position ， \(t\) 为 septum thickness 。 septum y position 的规则同理，将 \(x\) 替换为 \(y\) 。
Note
若
septum x position未提供（None）但exl非零，则所有粒子都感受电场（无 septum 检测）。这对应均匀场校正元件的用法septum thickness默认为 0，此时极板/丝区域宽度为零，粒子要么在无场区要么在有场区
Tilt 旋转
tilt 参数实现元件绕 \(s\) 轴的 roll 旋转。遵循 MAD-X 约定： 正角度代表顺时针旋转 （沿 \(+s\) 方向看去）。
tilt 不影响积分方法的选择——它只在入口和出口做瞬时坐标变换：
入口: 顺时针旋转 :math:`(x, y, p_x, p_y)` by :math:`+\varphi` → 进入元件自然坐标系
内部: DKD 或薄透镜，在自然坐标系中追踪（场沿 :math:`x'` ， septum 沿 :math:`x'` ）
出口: 逆时针旋转 :math:`(x, y, p_x, p_y)` by :math:`-\varphi` → 回到实验室坐标系
顺时针旋转矩阵：
Drift 本身是坐标无关的（自由空间传播不依赖横向坐标系方向）， kick 在自然坐标系中沿 \(x'\) 方向， septum 在自然坐标系中是 \(x' = \mathrm{const}\) 的直线。所有物理都在自然坐标系中完成。
整体追踪流程
====== 薄透镜 (length = 0) ======
1. Tilt 旋转 (若有)
2. 分类粒子: 无场区 / 有场区 / 撞击极板
3. 无场区: 无操作 (位置和动量均不变)
4. 有场区: 纯 kick (Δpx = exl / (β₀c·Bρ), Δpy = eyl / (β₀c·Bρ))
5. 撞击极板: tag 取负, 记录 lost_position/lost_turn
6. Tilt 旋转回 (若有)
====== 厚透镜 (length > 0) ======
1. Tilt 旋转 (若有)
2. 分类粒子: 无场区 / 有场区 / 撞击极板
3. 无场区: 纯 Drift(L)
4. 有场区: DKD
Drift(L/2) → Kick → Drift(L/2)
5. 撞击极板: tag 取负, 记录 lost_position/lost_turn
6. Tilt 旋转回 (若有)
7. z 坐标 wrap 到 [-C/2, C/2)
接口参数
属性名 |
JSON key |
类型 |
单位 |
说明 |
|---|---|---|---|---|
|
|
float |
m |
元件在束线中的纵向位置 |
|
|
str |
元件名称 |
|
|
|
float |
m |
极板长度（ \(\ge 0\) ； \(= 0\) 为薄透镜） |
|
|
float |
V/m |
水平电场强度，默认 0 |
|
|
float |
V/m |
垂直电场强度，默认 0 |
|
|
float |
V |
水平积分场 \(E_x L\) ，默认由 \(E_x \cdot L\) 推导 |
|
|
float |
V |
垂直积分场 \(E_y L\) ，默认由 \(E_y \cdot L\) 推导 |
|
|
float |
rad |
绕 \(s\) 轴 roll 角，正值为顺时针，默认 0 |
|
|
float |
m |
\(x\) 方向 septum 位置（ |
|
|
float |
m |
\(y\) 方向 septum 位置（ |
|
|
float |
m |
septum 极板/丝厚度，默认 0 |
|
|
str |
孔径类型，默认 |
|
|
|
list |
孔径参数值，默认 |
Note
场强（
ex/ey）与积分场（exl/eyl）两种输入方式：厚透镜：提供
ex/ey时， \(\mathrm{exl} = E_x \cdot L\) 自动计算；提供exl/eyl时， \(E_x = \mathrm{exl} / L\) 自动反推薄透镜：直接使用
exl/eyl（ex/ey在 \(L = 0\) 时无意义）
ex和ey通常只有一个非零（水平或垂直偏转板）。若两者同时非零，将发出警告septum x position/septum y position仅在对应方向场分量非零时生效Command字段应设为elseparator
使用示例
薄透镜水平偏转
以下示例在 \(s = 10.0\) m 处放置一个薄透镜静电偏转板，积分场 \(\mathrm{exl} = 1 \times 10^5\) V：
{
"ES1": {
"S (m)": 10.0,
"Command": "elseparator",
"ExL (V)": 1e5
}
}
粒子获得水平踢角 \(\Delta p_x = \mathrm{exl} / (\beta_0 c \cdot B\rho)\) 。位置不变。
厚透镜水平偏转
以下示例在 \(s = 15.0\) m 处放置一个厚透镜静电偏转板，长度 0.5 m，场强 \(E_x = 2 \times 10^5\) V/m：
{
"ES2": {
"S (m)": 15.0,
"Command": "elseparator",
"Length (m)": 0.5,
"Ex (V/m)": 2e5
}
}
积分场 \(\mathrm{exl} = 2 \times 10^5 \times 0.5 = 1 \times 10^5\) V。采用 DKD 追踪，粒子走抛物线轨迹。
带 Septum 的注入偏转板
以下示例模拟一个注入用静电偏转板， septum 位于 \(x = 5\) mm， septum 厚度 2 mm：
{
"ES3": {
"S (m)": 20.0,
"Command": "elseparator",
"Length (m)": 0.3,
"Ex (V/m)": 3e5,
"Septum X Position (m)": 0.005,
"Septum Thickness (m)": 0.002
}
}
粒子分类：
\(x \le 5\) mm：无场区，纯漂移（循环束流）
\(5\,\mathrm{mm} < x \le 7\) mm：撞击极板/丝，标记丢失
\(x > 7\) mm：有场区， DKD 偏转（注入束流）
负侧 Septum （引出场景）
以下示例模拟引出场景， septum 位于 \(x = -5\) mm，场在左侧：
{
"ES4": {
"S (m)": 25.0,
"Command": "elseparator",
"Length (m)": 0.3,
"Ex (V/m)": -3e5,
"Septum X Position (m)": -0.005
}
}
粒子分类：
\(x \ge -5\) mm：无场区，纯漂移（循环束流）
\(x < -5\) mm：有场区， DKD 偏转（引出束流）
垂直偏转板
以下示例放置一个垂直偏转板，仅 \(E_y\) 非零：
{
"ES5": {
"S (m)": 30.0,
"Command": "elseparator",
"Length (m)": 0.4,
"Ey (V/m)": 2.5e5,
"Septum Y Position (m)": 0.005
}
}
粒子在 \(y\) 方向被偏转。 septum 检测沿 \(y\) 方向。
带 Tilt 的偏转板
以下示例放置一个绕 \(s\) 轴顺时针旋转 30 度的偏转板：
{
"ES6": {
"S (m)": 35.0,
"Command": "elseparator",
"Length (m)": 0.5,
"Ex (V/m)": 2e5,
"Tilt (rad)": 0.5236,
"Septum X Position (m)": 0.005
}
}
元件自然坐标系顺时针旋转 30 度，场和 septum 均在旋转后的坐标系中定义。入口旋转 → 追踪 → 出口旋转回来。
零场退化
以下示例场强为零，退化为纯漂移（厚透镜）或标记器（薄透镜）：
{
"ES7": {
"S (m)": 40.0,
"Command": "elseparator",
"Length (m)": 0.5
}
}
\(\mathrm{exl} = \mathrm{eyl} = 0\) 时，所有粒子纯漂移，无偏转。
应用场景
束流注入 ：在注入段放置静电偏转板，将注入束流偏转至与主环闭合轨道匹配的方向。 septum 分隔循环束流与注入束流，仅偏转注入粒子
束流引出 ：在引出点放置静电偏转板，将引出束流偏转至引出通道。 septum 确保循环束流不受影响
轨道校正 ：无 septum 时（
septum x position = None），静电偏转板可作为均匀场校正元件，对所有粒子施加相同踢角低能束流偏转 ：低能段 \(\beta\gamma\) 较小，静电偏转效率高于磁偏转（电场力与速度无关，磁场力正比于速度），常用于低能注入线
快引出系统 ：静电偏转板响应速度快（纳秒级脉冲），适用于快引出和逐束团引出
参考文献
MAD-X User’s Guide, “ELSEPARATOR” section (
ex/ey/ex_l/ey_l/tilt定义)Xsuite 源码：
xtrack/mad_loader.py（convert_elseparator = convert_drift_like， xsuite 暂未实现独立 elseparator ）Wiedemann, H., “Particle Accelerator Physics”, Ch. 4（电场偏转与磁偏转的等效关系）
Conte, M. & MacKay, W.W., “An Introduction to the Physics of Particle Accelerators”, Ch. 7（静电偏转板在注入引出中的应用）