六极铁（Sextupole）
本模块介绍 PASS 中的六极铁元件 Sextupole ，用于模拟带电粒子在六极磁铁中的运动。六极铁是加速器中最基本的非线性元件，通过二次磁场提供非线性聚焦力，主要用于色品校正和共振驱动。
PASS 中的六极铁支持 厚元件 （ length > 0 ）和 薄透镜 （ length = 0 ）两种模式，厚元件采用精确漂移-踢角-漂移（DKD-exact）辛积分方案，支持 uniform（2阶）和 yoshida4（4阶）两种辛积分器。
代码位置
源文件：
PASS/commands/element/sextupole.py类名：
Sextupole（继承自Command）注册名：
sextupole核心特征：
支持薄透镜模式（
length = 0，仅施加六极踢角）支持厚透镜模式（
length > 0，DKD-exact 辛积分）支持 uniform（2阶蛙跳）和 yoshida4（4阶 Yoshida 组合）积分器
支持正常六极（
k2l）和斜六极（k2sl）及其组合零场（
k2l = k2sl = 0）时自动退化为纯漂移色品校正、非线性色散等高阶效应通过精确漂移自然引入
支持孔径检查
坐标约定
PASS 采用与 Xsuite 一致的归一化曲线坐标，六维相空间变量为 \((x, p_x, y, p_y, z, \delta)\) ：
变量 |
符号 |
定义 |
|---|---|---|
|
\(x\) |
水平偏移（相对于参考轨道） |
|
\(p_x\) |
归一化水平动量， \(p_x = P_x / P_0\) |
|
\(y\) |
垂直偏移 |
|
\(p_y\) |
归一化垂直动量， \(p_y = P_y / P_0\) |
|
\(\zeta\) |
纵向坐标， \(\zeta = s - \beta_0 c t\) |
|
\(\delta\) |
相对动量偏差， \(\delta = P / P_0 - 1\) |
其中 \(P_0\) 为参考粒子动量， \(\beta_0 = v_0 / c\) 为参考粒子归一化速度， \(s\) 为沿参考轨道的弧长， \(t\) 为时间。
纵向动量分量定义为：
荷质比因子：
对于同种粒子束 \(\chi = 1\) 。
六极磁场与归一化强度
六极磁铁的磁场在横向平面内二次分布。用复数表示：
其中 \(B''\) 为正常六极场二阶导数， \(B''_s\) 为斜六极场二阶导数。展开后：
归一化六极强度定义为：
积分强度为：
其中 \(L\) 为磁铁长度。PASS 中用户直接指定 \(K_{2L}\) （ k2l ）和 \(K_{2sL}\) （ k2sl ），厚透镜时内部自动解出 \(K_2 = K_{2L} / L\) 和 \(K_{2s} = K_{2sL} / L\) 。
整体追踪流程
根据磁铁长度，六极铁有两种追踪模式：
薄透镜模式 （ \(L = 0\) ）
====== 薄透镜 (length = 0) ======
单次六极踢角 Kick(K2L, K2sL)
[位置不变，仅动量跳变]
厚透镜模式 （ \(L > 0\) ）
====== 厚透镜 (length > 0) ======
切片1 → 切片2 → ... → 切片N
(每个切片: Drift(ds/2) → Kick(ds) → Drift(ds/2))
其中 ds = L / N
若 K2L = 0 且 K2sL = 0：退化为单次精确漂移 Drift(L)
完整映射为：
薄透镜：
厚透镜（N 个切片）：
其中每个切片的 DKD 映射为：
Note
薄透镜模式不改变粒子的位置坐标 \((x, y, z)\) ，仅施加动量踢角
厚透镜模式的色品效应通过精确漂移中的 \(p_z\) 表达式自然引入（见色品校正章节）
当 \(K_{2L} = 0\) 且 \(K_{2sL} = 0\) 时，厚透镜退化为纯漂移，避免无意义的空踢角循环
物理推导
哈密顿量
在直线坐标系中（六极铁无曲率， \(h = 0\) ），六极铁的哈密顿量为：
将其拆分为传播部分（精确漂移 \(H_D\) ）和踢角部分（ \(H_K\) ）：
其中 \(H_D\) 是精确漂移哈密顿量（保留 \(p_z\) 的根号，不做小动量展开）， \(H_K\) 是六极踢角。这是 分裂算符法 （split-operator）的标准做法：将哈密顿量拆分为可解析求解的部分，分别施加映射，再组合为辛积分器。
精确漂移映射 D
传播部分的哈密顿方程给出精确直漂移：
其中 \(L_D\) 为漂移长度， \(\beta\) 为粒子实际归一化速度：
Note
“exact” 的含义：漂移部分保留精确根号 \(p_z = \sqrt{(1+\delta)^2 - p_x^2 - p_y^2}\) ，不做 \(p_x \ll 1\) 的小动量展开。近似仅在于将传播部分与踢角部分分离（分裂算符法）。该公式与漂移节（Drift）和四极铁（Quadrupole）中的精确漂移完全一致。
六极踢角映射 K
踢角部分为薄透镜映射（位置不变，仅动量跳变）。由哈密顿方程 \(\dot{p}_x = -\partial H / \partial x\) ， \(\dot{p}_y = -\partial H / \partial y\) 得：
其中 \(L_K\) 为踢角有效长度。
各项物理含义：
项 |
来源 |
物理含义 |
|---|---|---|
\(-\frac{\chi}{2} K_{2L} (x^2 - y^2)\) |
\(\frac{\chi K_2}{6} x^3\) |
水平非线性聚焦（正比于 \(x^2\) ） |
\(+\chi K_{2L} \, xy\) |
\(-\frac{\chi K_2}{2} x y^2\) |
水平-垂直耦合踢角 |
\(+\chi K_{2sL} \, xy\) |
\(\frac{\chi K_{2s}}{2} x^2 y\) |
斜六极水平耦合踢角 |
\(+\frac{\chi}{2} K_{2sL} (x^2 - y^2)\) |
\(-\frac{\chi K_{2s}}{6} y^3\) |
斜六极垂直非线性聚焦 |
对于薄透镜模式， \(L_K = 1\) ，直接使用积分强度 \(K_{2L}\) 和 \(K_{2sL}\) 。对于 DKD 模式， \(L_K = \Delta s\) ，使用 \(K_2 \Delta s\) 和 \(K_{2s} \Delta s\) 。
Note
正常六极铁（ \(K_2 > 0\) ）在水平方向对正偏移粒子提供恢复力（正比于 \(x^2\) ），垂直方向则相反。六极铁的聚焦力与位置平方成正比，是非线性元件——远离轴线的粒子受到更强的偏转。
斜六极铁（ \(K_{2s} \neq 0\) ）将六极作用旋转 \(\pi / 6\) ，产生不同的 \(x\) - \(y\) 耦合模式。实际中常用于模拟安装旋转误差或驱动特定共振。
与四极铁的对比：四极踢角线性依赖于 \(x\) （ \(\Delta p_x \propto x\) ），六极踢角二次依赖于 \(x\) （ \(\Delta p_x \propto x^2\) ）。这意味着六极铁不改变参考轨道上的粒子（ \(x = y = 0\) 时踢角为零），但对偏离轴线的粒子产生非线性偏转。
uniform 积分器（2阶辛）
每个切片采用漂移-踢角-漂移（DKD）结构，即二阶蛙跳（leapfrog）：
每个切片误差为 \(O(\Delta s^3)\) ，全局误差为 \(O(\Delta s^2)\) 。二阶辛积分器，每步都是正则变换。
yoshida4 积分器（4阶辛）
通过组合三个二阶 DKD 步构造四阶辛映射 [Yoshida 1990]：
其中 Yoshida 系数为：
Note
\(z_0 < 0\) 意味着中间一步是反向追踪（漂移和踢角的 “长度” 为负）。这是 Yoshida 组合方法的数学要求，在辛映射群中完全自洽。每个切片误差为 \(O(\Delta s^5)\) ，全局误差为 \(O(\Delta s^4)\) 。
色品校正
色品（chromaticity）描述了粒子 tune 对动量偏差 \(\delta\) 的依赖。六极铁是色品校正的核心元件。
物理机制
粒子在六极铁处的横向位置包含色散部分：
其中 \(x_\beta\) 为 betatron 振荡部分， \(\eta_x\) 为色散函数。代入六极踢角：
展开后：
第二项 \(-\chi K_{2L} \eta_x \delta \, x_\beta\) 是一个等效四极踢角（线性依赖于 \(x_\beta\) ，系数正比于 \(\delta\) ），它改变了 tune 对 \(\delta\) 的依赖，从而实现色品校正。在有色散的六极铁处，等效四极强度为：
对应的色品贡献为：
Note
六极铁仅在有色散的位置才能校正色品（ \(\eta_x \neq 0\) ）
色品校正在踢角中自动产生——踢角作用于真实坐标 \(x\) （包含色散），不做任何展开
即使薄透镜（无 drift）也有色品校正效应
第三项 \(-\frac{\chi}{2} K_{2L} \eta_x^2 \delta^2\) 是二阶色散驱动项，也自然包含
在无色散位置（ \(\eta_x = 0\) ），六极铁不校正一阶色品，但仍保留非线性效应（三阶共振驱动、非线性耦合、动态孔径限制等）
在 Twiss 线性传输中使用六极铁
PASS 的 Twiss 传输（ twiss.py ）在 \((x, p_x)\) 归一化动量坐标下工作，色散处理为”减去→线性传输→加回”，自然色品通过 DQx / DQy 参数（相移中的 \(\delta\) 项）引入。在该框架中插入六极铁 kick 时需注意以下事项。
坐标一致性
Twiss 传输到达六极铁位置时，粒子的 \(x\) 已包含色散（ \(x = x_\beta + \eta_x \delta\) ），六极 kick 直接作用于该真实坐标，色品校正项 \(-K_{2L}\eta_x\delta\cdot x_\beta\) 自动出现。 踢角中不应除以 \(1+\delta\) ——那是 \((x, x')\) 角度坐标体系的写法，与 PASS 的 \((x, p_x)\) 体系不兼容，混用会导致色品重复计数。
避免色品重复计数
场景 |
正确做法 |
|---|---|
|
不再单独施加六极 kick，否则一阶色品被双重计数 |
|
施加六极 kick 补充色品校正及非线性效应，不冲突 |
|
将 |
薄透镜与厚透镜的差异
效应 |
薄透镜 |
厚透镜 DKD-exact |
|---|---|---|
色品校正（通过色散位置） |
有 |
有 |
元件内部 drift 色散 |
无 |
有 |
厚透镜分布效应 |
无 |
有 |
路径长度效应（ \(R_{56}\) 等） |
无 |
有 |
薄透镜缺少的效应是”磁铁内部漂移”带来的——零长度磁铁物理上就没有内部漂移，这是正确的物理近似，不是遗漏。若需要这些效应，使用厚透镜模式。
Note
在逐元件追踪（element-by-element tracking）模式中，不存在
DQx重复计数问题——所有效应由 DKD-exact 物理模拟自然产生Twiss 线性传输是一阶模型，六极 kick 中除 \(1+\delta\) 会引入与模型精度不匹配的二阶非线性色散效应，应避免
若六极铁强度较大或需要精确的非线性效应模拟，建议切换到完整的逐元件 DKD-exact 追踪，而非在 Twiss 线性框架中局部引入非线性 kick
自然包含的高阶效应
DKD-exact 方案中，理想六极磁铁的所有非线性效应天然包含，无需任何额外处理：
效应 |
来源 |
|---|---|
色品校正 |
kick 作用于含色散的真实坐标 \(x\) ，展开后自动出现等效四极项 |
自然色品 |
drift 中精确 \(p_z\) 使等效聚焦强度含 \(1/(1+\delta)\) 依赖 |
高阶色散 |
drift 中 \(p_z\) 保留完整根号，色散演化含所有阶次的 \(\delta\) 依赖 |
路径长度效应（ \(R_{56}\) 等） |
drift 中 \(\zeta\) 更新包含完整的 \(R_{56}\) , \(T_{566}\) 等高阶项 |
厚透镜分布效应 |
DKD 多切片中 drift 改变 \(x\) ，后续 kick 感受更新后的坐标 |
\(x\) - \(y\) 耦合 |
kick 中 \(xy\) 交叉项 |
Note
唯一近似是 split-operator 积分器的离散化误差（uniform 为 \(O(\Delta s^2)\) ，yoshida4 为 \(O(\Delta s^4)\) ），可通过增加切片数控制。这是数学方法的截断误差，不是物理效应的遗漏。
接口参数
属性名 |
JSON key |
类型 |
单位 |
说明 |
|---|---|---|---|---|
|
|
float |
m |
元件在束线中的纵向位置 |
|
|
float |
m |
元件长度（必须 \(\ge 0\) ； \(= 0\) 时为薄透镜） |
|
|
str |
元件名称 |
|
|
|
float |
\(\text{m}^{-2}\) |
正常六极积分强度 \(K_{2L}\) ，默认 0 |
|
|
float |
\(\text{m}^{-2}\) |
斜六极积分强度 \(K_{2sL}\) ，默认 0 |
|
|
int |
切片数，默认 1（仅厚透镜有效） |
|
|
|
str |
积分器，可选： |
|
|
|
str |
孔径类型，默认 |
|
|
|
list |
孔径参数值，默认 |
使用示例
厚透镜正常六极铁
{
"SF1": {
"S (m)": 10.0,
"Command": "Sextupole",
"Length (m)": 0.5,
"K2L": 5.0,
"Num Slices": 5,
"Integrator": "yoshida4",
"Aperture Type": "off"
}
}
正常六极铁（ \(K_{2L} > 0\) ），长度 0.5 m，5 个切片，4 阶辛积分。用于色品校正。
薄透镜六极铁
{
"SF2": {
"S (m)": 20.0,
"Command": "Sextupole",
"Length (m)": 0.0,
"K2L": 10.0,
"Aperture Type": "off"
}
}
零长度六极铁，仅施加 \(K_{2L}\) 薄透镜踢角，无 body 追踪。
负六极铁
{
"SD1": {
"S (m)": 30.0,
"Command": "Sextupole",
"Length (m)": 0.4,
"K2L": -5.0,
"Num Slices": 1,
"Integrator": "uniform",
"Aperture Type": "off"
}
}
负六极铁（ \(K_{2L} < 0\) ），提供与正六极铁相反的色品校正方向。
斜六极铁
{
"SS1": {
"S (m)": 40.0,
"Command": "Sextupole",
"Length (m)": 0.3,
"K2L": 0.0,
"K2SL": 3.0,
"Num Slices": 1,
"Integrator": "uniform",
"Aperture Type": "off"
}
}
纯斜六极铁（ \(K_{2L} = 0\) , \(K_{2sL} \neq 0\) ），产生与正常六极铁旋转 \(\pi / 6\) 的耦合效应。
正常 + 斜六极组合
{
"SFS1": {
"S (m)": 50.0,
"Command": "Sextupole",
"Length (m)": 0.5,
"K2L": 5.0,
"K2SL": 1.0,
"Num Slices": 3,
"Integrator": "yoshida4",
"Aperture Type": "circle",
"Aperture Value": [0.04]
}
}
同时含正常和斜六极分量的组合六极铁（模拟安装旋转误差），带圆形孔径检查。
应用场景
色品校正 ：在有色散的位置放置六极铁，补偿四极铁自然色品，使粒子 tune 对动量偏差不敏感
共振驱动 ：驱动三阶共振（ \(3Q_x\) , \(2Q_x \pm Q_y\) 等）用于共振引出或束流刮削
动态孔径控制 ：六极铁的非线性场限制稳定相空间区域，影响束流寿命
非线性耦合校正 ：使用斜六极铁（
k2sl）控制高阶 \(x\) - \(y\) 耦合Harmonic sextupole ：在特定相位放置六极铁驱动或抑制特定共振项
LHC 色品方案 ：在弧区分布六极铁家族（SF/SD），实现宽能范围内的色品控制
参考文献
Xsuite Physics Guide, Sec 1.10.3 (精确漂移), Sec 1.10.5 (六极铁)
Xsuite 源码：
xtrack/beam_elements/elements_src/sextupole.h,track_magnet.h,track_magnet_kick.h,track_magnet_drift.hYoshida, H., “Construction of higher order symplectic integrators”, Phys. Lett. A 150 (1990)
MAD-X 物理手册：六极磁场与非线性传输
Wiedemann, H., “Particle Accelerator Physics”, Ch. 4 (非线性束流动力学)