六极铁（Sextupole）

本模块介绍 PASS 中的六极铁元件 Sextupole ，用于模拟带电粒子在六极磁铁中的运动。六极铁是加速器中最基本的非线性元件，通过二次磁场提供非线性聚焦力，主要用于色品校正和共振驱动。

PASS 中的六极铁支持 厚元件 （ length > 0 ）和 薄透镜 （ length = 0 ）两种模式，厚元件采用精确漂移-动量更新-漂移（DKD-exact）辛积分方案，支持 uniform（2阶）和 yoshida4（4阶）两种辛积分器。

  • 核心特征：

    • 支持薄透镜模式（ length = 0 ，仅施加六极动量更新）

    • 支持厚透镜模式（ length > 0 ，DKD-exact 辛积分）

    • 支持 uniform（2阶蛙跳）和 yoshida4（4阶 Yoshida 组合）积分器

    • 支持正六极（ k2l ）和斜六极（ k2sl ）及其组合

    • 零场（ k2l = k2sl = 0 ）时自动退化为纯漂移

    • 色品校正、非线性色散等高阶效应通过精确漂移自然引入

    • 支持孔径检查

以下接口中的字段用于 PASS.para.schema.elements.SextupoleItem 配置类； 元件名称由 Sequence.add(name, item) 的序列键给出，不是配置类字段。

接口参数

Python 配置字段

JSON 键

类型

单位

默认值

说明

s

S (m)

float

m

必填

元件出口或零长度作用点的纵向位置。

length

Length (m)

float

m

0.0

元件长度（必须 \(\ge 0\) ； \(= 0\) 时为薄透镜）

k2l

K2L

float

\(\text{m}^{-2}\)

0.0

正六极积分强度 \(K_{2L}\) ，默认 0

k2sl

K2SL

float

\(\text{m}^{-2}\)

0.0

斜六极积分强度 \(K_{2sL}\) ，默认 0

fringe

FRINGE

int

—

0

MAD-X 位选择值；2 启用内置多极端场，4 启用四极 F1/F2。

frngmax

FRNGMAX

int

—

2

内置端场的最高极序：2 为四极，3 为六极，4 为八极。

kill_ent_fringe

KILL_ENT_FRINGE

bool

—

False

屏蔽物理入口的全部已启用端场映射。

kill_exi_fringe

KILL_EXI_FRINGE

bool

—

False

屏蔽物理出口的全部已启用端场映射。

num_slices

Num slices

int

1

1

切片数，默认 1（仅厚透镜有效）

integrator

Integrator

str

'adaptive'

积分器，可选： adaptive （默认 uniform ）、 uniform 、 yoshida4

aperture_type

Aperture type

str

—

'off'

孔径类型，默认 off

aperture_value

Aperture value

list

m / rad

[]

孔径参数值，默认 []

正、斜分量的时变强度可设置 is_ramping=True 与 ramping_file="magnet_ramp.tfs"``（JSON：``Is ramping、Ramping file）。 TFS 列名、单位和入口采样约定见 磁铁 ramping。每个非空 bunch 在入口 采样一次，强度在整个元件内冻结。运行时名义强度保留最后执行的 bunch 入口值， 场误差独立保存。同一页面也说明 update_strengths 的用法。

端场映射在物理两端各执行一次，使用启用后的总正、斜分量强度。 选择值、极序截断、零长度限制与 MAD-X/PTC 对比约定见 物理入口和出口端场映射。

使用示例

厚透镜正六极铁

{
    "SF1": {
        "S (m)": 10.0,
        "Command": "Sextupole",
        "Length (m)": 0.5,
        "K2L": 5.0,
        "Num slices": 5,
        "Integrator": "yoshida4",
        "Aperture type": "off"
    }
}

正六极铁（ \(K_{2L} > 0\) ），长度 0.5 m，5 个切片，4 阶辛积分。用于色品校正。

薄透镜六极铁

{
    "SF2": {
        "S (m)": 20.0,
        "Command": "Sextupole",
        "Length (m)": 0.0,
        "K2L": 10.0,
        "Aperture type": "off"
    }
}

零长度六极铁，仅施加 \(K_{2L}\) 薄透镜动量更新，无 body 跟踪。

负六极铁

{
    "SD1": {
        "S (m)": 30.0,
        "Command": "Sextupole",
        "Length (m)": 0.4,
        "K2L": -5.0,
        "Num slices": 1,
        "Integrator": "uniform",
        "Aperture type": "off"
    }
}

负六极铁（ \(K_{2L} < 0\) ），提供与正六极铁相反的色品校正方向。

斜六极铁

{
    "SS1": {
        "S (m)": 40.0,
        "Command": "Sextupole",
        "Length (m)": 0.3,
        "K2L": 0.0,
        "K2SL": 3.0,
        "Num slices": 1,
        "Integrator": "uniform",
        "Aperture type": "off"
    }
}

纯斜六极铁（ \(K_{2L} = 0\) , \(K_{2sL} \neq 0\) ），产生与正六极铁旋转 \(\pi / 6\) 的耦合效应。

正、斜分量六极组合

{
    "SFS1": {
        "S (m)": 50.0,
        "Command": "Sextupole",
        "Length (m)": 0.5,
        "K2L": 5.0,
        "K2SL": 1.0,
        "Num slices": 3,
        "Integrator": "yoshida4",
        "Aperture type": "circle",
        "Aperture value": [0.04]
    }
}

同时含正、斜六极分量的组合六极铁（模拟安装旋转误差），带圆形孔径检查。

坐标约定

采用 纵向坐标与参考到达时间 的连续纵向坐标。 \(T_b\) 是理想参考粒子在当前位置的实际通过时刻，不是束团质心时刻； 局部映射中的 \(\beta_0\) 和 \(P_0\) 表示当前束团参考量。 \(p_x=P_x/P_0\) 是归一化动量，不是轨迹斜率。

PASS 采用归一化曲线坐标，六维相空间变量为 \((x, p_x, y, p_y, z, \delta)\) ：

变量

符号

定义

x

\(x\)

水平偏移（相对于参考轨道）

px

\(p_x\)

归一化水平动量， \(p_x = P_x / P_0\)

y

\(y\)

垂直偏移

py

\(p_y\)

归一化垂直动量， \(p_y = P_y / P_0\)

z

\(\zeta\)

纵向坐标， \(z=\zeta=\beta_b c(T_b-t_i)\)

dp

\(\delta\)

相对动量偏差， \(\delta = P / P_0 - 1\)

其中 \(P_0\) 为参考粒子动量， \(\beta_0 = v_0 / c\) 为参考粒子归一化速度， \(s\) 为沿参考轨道的弧长， \(t\) 为时间。

纵向动量分量定义为：

\[p_z = \sqrt{(1+\delta)^2 - p_x^2 - p_y^2}\]

荷质比因子：

\[\chi = \frac{q}{q_0} \cdot \frac{m_0}{m}\]

对于同种粒子束 \(\chi = 1\) 。

六极磁场与归一化强度

六极磁铁的磁场在横向平面内二次分布。用复数表示：

\[B_y + i B_x = \frac{1}{2}(B'' + i B''_s)(x + i y)^2\]

其中 \(B''\) 为正六极场二阶导数， \(B''_s\) 为斜六极场二阶导数。展开后：

\[B_y = \frac{1}{2} B'' (x^2 - y^2) - B''_s x y\]
\[B_x = B'' x y + \frac{1}{2} B''_s (x^2 - y^2)\]

归一化六极强度定义为：

\[K_2 = \frac{q_0 B''}{2 P_0}\]
\[K_{2s} = \frac{q_0 B''_s}{2 P_0}\]

积分强度为：

\[K_{2L} = K_2 \cdot L, \qquad K_{2sL} = K_{2s} \cdot L\]

其中 \(L\) 为磁铁长度。PASS 中用户直接指定 \(K_{2L}\) （ k2l ）和 \(K_{2sL}\) （ k2sl ），厚透镜时内部自动解出 \(K_2 = K_{2L} / L\) 和 \(K_{2s} = K_{2sL} / L\) 。

整体跟踪流程

根据磁铁长度，六极铁有两种跟踪模式：

薄透镜模式 （ \(L = 0\) ）

====== 薄透镜 (length = 0) ======

单次六极动量更新 Kick(K2L, K2sL)
[位置不变，仅动量跳变]

厚透镜模式 （ \(L > 0\) ）

====== 厚透镜 (length > 0) ======

切片1 → 切片2 → ... → 切片N
(每个切片: Drift(ds/2) → Kick(ds) → Drift(ds/2))

其中 ds = L / N

若 K2L = 0 且 K2sL = 0：退化为单次精确漂移 Drift(L)

完整映射为：

薄透镜：

\[\mathcal{M}_{\text{thin}} = \text{Kick}(K_{2L}, K_{2sL})\]

厚透镜（N 个切片）：

\[\mathcal{M}_{\text{thick}} = \left[\mathcal{M}_{\text{DKD}}(\Delta s)\right]^N\]

其中每个切片的 DKD 映射为：

\[\mathcal{M}_{\text{DKD}}(\Delta s) = D\!\left(\frac{\Delta s}{2}\right) \circ K(\Delta s) \circ D\!\left(\frac{\Delta s}{2}\right)\]

Note

  • 薄透镜模式不改变粒子的位置坐标 \((x, y, z)\) ，仅施加动量动量更新

  • 厚透镜模式的色品效应通过精确漂移中的 \(p_z\) 表达式自然引入（见色品校正章节）

  • 当 \(K_{2L} = 0\) 且 \(K_{2sL} = 0\) 时，厚透镜退化为纯漂移，避免无意义的空动量更新循环

物理推导

哈密顿量

在直线坐标系中（六极铁无曲率， \(h = 0\) ），六极铁的哈密顿量为：

\[H_{\text{sext}} = \frac{p_\tau}{\beta_0} - \sqrt{(1+\delta)^2 - p_x^2 - p_y^2} + \frac{\chi}{6}\left[K_2(x^3 - 3 x y^2) + K_{2s}(3 x^2 y - y^3)\right]\]

将其拆分为传播部分（精确漂移 \(H_D\) ）和动量更新部分（ \(H_K\) ）：

\[H_D = \frac{p_\tau}{\beta_0} - \sqrt{(1+\delta)^2 - p_x^2 - p_y^2}\]
\[H_K = \frac{\chi}{6}\left[K_2(x^3 - 3 x y^2) + K_{2s}(3 x^2 y - y^3)\right]\]

其中 \(H_D\) 是精确漂移哈密顿量（保留 \(p_z\) 的根号，不做小动量展开）， \(H_K\) 是六极动量更新。这是 分裂算符法 （split-operator）的标准做法：将哈密顿量拆分为可解析求解的部分，分别施加映射，再组合为辛积分器。

精确漂移映射 D

传播部分的哈密顿方程给出精确直漂移：

\[p_z = \sqrt{(1+\delta)^2 - p_x^2 - p_y^2}\]
\[x \leftarrow x + \frac{p_x}{p_z} \cdot L_D\]
\[y \leftarrow y + \frac{p_y}{p_z} \cdot L_D\]
\[\zeta \leftarrow \zeta + L_D \cdot \left(1 - \frac{\beta_0}{\beta} \cdot \frac{1+\delta}{p_z}\right)\]

其中 \(L_D\) 为漂移长度， \(\beta\) 为粒子实际归一化速度：

\[\beta = \frac{(1+\delta) \, \beta_0 \gamma_0}{\sqrt{1 + \left[(1+\delta) \, \beta_0 \gamma_0\right]^2}}\]

Note

“exact” 的含义：漂移部分保留精确根号 \(p_z = \sqrt{(1+\delta)^2 - p_x^2 - p_y^2}\) ，不做 \(p_x \ll 1\) 的小动量展开。近似仅在于将传播部分与动量更新部分分离（分裂算符法）。该公式与漂移节（Drift）和四极铁（Quadrupole）中的精确漂移完全一致。

六极动量更新映射 K

动量更新部分为薄透镜映射（位置不变，仅动量跳变）。由哈密顿方程 \(\dot{p}_x = -\partial H / \partial x\) ， \(\dot{p}_y = -\partial H / \partial y\) 得：

\[\Delta p_x = -\frac{\chi}{2} K_{2L} (x^2 - y^2) + \chi K_{2sL} \, x y\]
\[\Delta p_y = \chi K_{2L} \, x y + \frac{\chi}{2} K_{2sL} (x^2 - y^2)\]

其中 \(L_K\) 为动量更新有效长度。

各项物理含义：

项

来源

物理含义

\(-\frac{\chi}{2} K_{2L} (x^2 - y^2)\)

\(\frac{\chi K_2}{6} x^3\)

水平非线性聚焦（正比于 \(x^2\) ）

\(+\chi K_{2L} \, xy\)

\(-\frac{\chi K_2}{2} x y^2\)

水平-垂直耦合动量更新

\(+\chi K_{2sL} \, xy\)

\(\frac{\chi K_{2s}}{2} x^2 y\)

斜六极水平耦合动量更新

\(+\frac{\chi}{2} K_{2sL} (x^2 - y^2)\)

\(-\frac{\chi K_{2s}}{6} y^3\)

斜六极垂直非线性聚焦

对于薄透镜模式， \(L_K = 1\) ，直接使用积分强度 \(K_{2L}\) 和 \(K_{2sL}\) 。对于 DKD 模式， \(L_K = \Delta s\) ，使用 \(K_2 \Delta s\) 和 \(K_{2s} \Delta s\) 。

Note

正六极铁（ \(K_2 > 0\) ）在水平方向对正偏移粒子提供恢复力（正比于 \(x^2\) ），垂直方向则相反。六极铁的聚焦力与位置平方成正比，是非线性元件——远离轴线的粒子受到更强的偏转。

斜六极铁（ \(K_{2s} \neq 0\) ）将六极作用旋转 \(\pi / 6\) ，产生不同的 \(x\) - \(y\) 耦合模式。实际中常用于模拟安装旋转误差或驱动特定共振。

与四极铁的对比：四极动量更新线性依赖于 \(x\) （ \(\Delta p_x \propto x\) ），六极动量更新二次依赖于 \(x\) （ \(\Delta p_x \propto x^2\) ）。这意味着六极铁不改变参考轨道上的粒子（ \(x = y = 0\) 时动量更新为零），但对偏离轴线的粒子产生非线性偏转。

uniform 积分器（2阶辛）

每个切片采用漂移-动量更新-漂移（DKD）结构，即二阶蛙跳（leapfrog）：

\[S_2(\Delta s) = D\!\left(\frac{\Delta s}{2}\right) \circ K(\Delta s) \circ D\!\left(\frac{\Delta s}{2}\right)\]

每个切片误差为 \(O(\Delta s^3)\) ，全局误差为 \(O(\Delta s^2)\) 。二阶辛积分器，每步都是正则变换。

yoshida4 积分器（4阶辛）

通过组合三个二阶 DKD 步构造四阶辛映射 [Yoshida 1990]：

\[S_4(\Delta s) = S_2(z_1 \Delta s) \circ S_2(z_0 \Delta s) \circ S_2(z_1 \Delta s)\]

其中 Yoshida 系数为：

\[z_1 = \frac{1}{2 - 2^{1/3}} \approx 1.3512\]
\[z_0 = 1 - 2 z_1 \approx -1.7024\]

Note

\(z_0 < 0\) 意味着中间一步是反向跟踪（漂移和动量更新的 “长度” 为负）。这是 Yoshida 组合方法的数学要求，在辛映射群中完全自洽。每个切片误差为 \(O(\Delta s^5)\) ，全局误差为 \(O(\Delta s^4)\) 。

色品校正

色品（chromaticity）描述了粒子工作点对动量偏差 \(\delta\) 的依赖。六极铁是色品校正的核心元件。

物理机制

粒子在六极铁处的横向位置包含色散部分：

\[x = x_\beta + \eta_x \, \delta\]

其中 \(x_\beta\) 为 betatron 振荡分量，\(\eta_x\) 为水平色散函数。为展示水平降阶聚焦，取 \(y=0\) 并代入六极动量更新：

\[\Delta p_x = -\frac{\chi}{2} K_{2L} (x_\beta + \eta_x \delta)^2\]

展开后：

\[\Delta p_x = -\frac{\chi}{2} K_{2L} \, x_\beta^2 \;-\; \chi K_{2L} \, \eta_x \, \delta \, x_\beta \;-\; \frac{\chi}{2} K_{2L} \, \eta_x^2 \, \delta^2\]

第二项 \(-\chi K_{2L} \eta_x \delta \, x_\beta\) 是一个等效四极动量更新（线性依赖于 \(x_\beta\) ，系数正比于 \(\delta\) ），它改变了工作点对 \(\delta\) 的依赖，从而实现色品校正。在有色散的六极铁处，等效四极强度为：

\[\Delta K_1=K_2\eta_x\delta,\qquad\frac{\partial\Delta K_1}{\partial\delta}=K_2\eta_x\]

在同种粒子束（\(\chi=1\)）、无耦合光学和一阶扰动近似下，对应的色品贡献为：

\[\Delta Q'_x=\frac{1}{4\pi}\oint\beta_x K_2\eta_x\,ds,\qquad\Delta Q'_y=-\frac{1}{4\pi}\oint\beta_y K_2\eta_x\,ds\]

Note

  • 六极铁仅在有色散的位置才能校正色品（ \(\eta_x \neq 0\) ）

  • 色品校正在动量更新中自动产生——动量更新作用于真实坐标 \(x\) （包含色散），不做任何展开

  • 即使薄透镜（无 漂移）也有色品校正效应

  • 第三项 \(-\frac{\chi}{2} K_{2L} \eta_x^2 \delta^2\) 是二阶色散驱动项，也自然包含

  • 在无色散位置（ \(\eta_x = 0\) ），六极铁不校正一阶色品，但仍保留非线性效应（三阶共振驱动、非线性耦合、动态孔径限制等）

在 Twiss 线性传输中使用六极铁

PASS 的 Twiss 传输（ twiss.py ）在 \((x, p_x)\) 归一化动量坐标下工作，色散处理为”减去→线性传输→加回”，自然色品通过 DQx / DQy 参数（相移中的 \(\delta\) 项）引入。在该框架中插入六极铁动量更新 时需注意以下事项。

坐标一致性

Twiss 传输到达六极铁位置时，粒子的 \(x\) 已包含色散（ \(x = x_\beta + \eta_x \delta\) ），六极动量更新 直接作用于该真实坐标，色品校正项 \(-K_{2L}\eta_x\delta\cdot x_\beta\) 自动出现。 动量更新中不应除以 \(1+\delta\) ——那是 \((x, x')\) 角度坐标体系的写法，与 PASS 的 \((x, p_x)\) 体系不兼容，混用会引入额外的非物理动量依赖。

避免色品重复计数

场景

正确做法

DQx 含总色品（含六极铁贡献）

不再单独施加六极动量更新，否则一阶色品被双重计数

DQx 仅含自然色品（不含六极铁）

施加六极动量更新 补充色品校正及非线性效应，不冲突

DQx 含总色品，但仍需模拟非线性效应

将 DQx 减去六极铁色品贡献（ \(\Delta Q'_x = \frac{1}{4\pi}\oint \beta_x K_2 \eta_x \, ds\) ），再施加完整六极动量更新

薄透镜与厚透镜的差异

效应

薄透镜

厚透镜 DKD-exact

色品校正（通过色散位置）

有

有

元件内部 漂移 色散

无

有

厚透镜分布效应

无

有

路径长度效应（ \(R_{56}\) 等）

无

有

薄透镜缺少的效应是”磁铁内部漂移”带来的——零长度磁铁物理上就没有内部漂移，这是正确的物理近似，不是遗漏。若需要这些效应，使用厚透镜模式。

Note

  • 在逐元件跟踪（element-by-element tracking）模式中，不存在 DQx 重复计数问题——所有效应由 DKD-exact 物理模拟自然产生

  • Twiss 线性传输是一阶模型，六极动量更新 中除 \(1+\delta\) 会引入与模型精度不匹配的二阶非线性色散效应，应避免

  • 若六极铁强度较大或需要精确的非线性效应模拟，建议切换到完整的逐元件 DKD-exact 跟踪，而非在 Twiss 线性框架中局部引入非线性 动量更新

自然包含的高阶效应

所声明的理想六极场与精确漂移模型包含下列贡献；这些条目不代表真实磁铁的所有边缘场、误差场或辐射效应：

效应

来源

色品校正

动量更新 作用于含色散的真实坐标 \(x\) ，展开后自动出现等效四极项

自然色品

漂移 中精确 \(p_z\) 使等效聚焦强度含 \(1/(1+\delta)\) 依赖

高阶色散

漂移 中 \(p_z\) 保留完整根号，色散演化含所有阶次的 \(\delta\) 依赖

路径长度效应（ \(R_{56}\) 等）

漂移 中 \(\zeta\) 更新包含完整的 \(R_{56}\) , \(T_{566}\) 等高阶项

厚透镜分布效应

DKD 多切片中 漂移 改变 \(x\) ，后续 动量更新 感受更新后的坐标

\(x\) - \(y\) 耦合

动量更新 中 \(xy\) 交叉项

Note

在所声明的理想场模型内，分裂积分的全局截断误差分别为二阶或四阶。增加切片数可检查数值收敛，但不能补回未建模的物理效应，也不能消除浮点舍入误差。

绝对正、斜多极场误差与静态 DX/DY/DPSI 准直误差使用公共 元件误差 接口。 准直只移动磁场，孔径和 SC 边界保持在设计坐标系。

应用场景

  • 色品校正 ：在有色散的位置放置六极铁，补偿四极铁自然色品，使粒子工作点对动量偏差不敏感

  • 共振驱动 ：驱动三阶共振（ \(3Q_x\) , \(2Q_x \pm Q_y\) 等）用于共振引出或束流刮削

  • 动态孔径控制 ：六极铁的非线性场限制稳定相空间区域，影响束流寿命

  • 非线性耦合校正 ：使用斜六极铁（ k2sl ）控制高阶 \(x\) - \(y\) 耦合

  • Harmonic sextupole ：在特定相位放置六极铁驱动或抑制特定共振项

  • LHC 色品方案 ：在弧区分布六极铁家族（SF/SD），实现宽能范围内的色品控制

参考文献

  • Xsuite Physics Guide, Sec 1.10.3 (精确漂移), Sec 1.10.5 (六极铁)

  • Xsuite 源码： xtrack/beam_elements/elements_src/sextupole.h , track_magnet.h , track_magnet_kick.h , track_magnet_drift.h

  • Yoshida, H., “Construction of higher order symplectic integrators”, Phys. Lett. A 150 (1990)

  • MAD-X 物理手册：六极磁场与非线性传输

  • Wiedemann, H., “Particle Accelerator Physics”, Ch. 4 (非线性束流动力学)

元件内部空间电荷

正长度元件可设置 space_charge （JSON Space charge）为 ElementSpaceCharge 对象。Num slices 控制外场传输， Space charge.Num kicks 控制 SC 积分。调度规则、共享资源、 支持的后端和示例见 元件切片与内部空间电荷。