四极铁（Quadrupole）
本模块介绍 PASS 中的四极铁元件 Quadrupole ，用于模拟带电粒子在四极磁铁中的运动。四极铁是加速器中最基本的聚焦元件，通过梯度磁场提供线性聚焦力。
PASS 中的四极铁支持 厚元件 （ length > 0 ）和 薄透镜 （ length = 0 ）两种模式，厚元件采用精确漂移-踢角-漂移（DKD-exact）辛积分方案，支持 uniform（2阶）和 yoshida4（4阶）两种辛积分器。
代码位置
源文件：
PASS/commands/element/quadrupole.py类名：
Quadrupole（继承自Command）注册名：
quadrupole核心特征：
支持薄透镜模式（
length = 0，仅施加四极踢角）支持厚透镜模式（
length > 0，DKD-exact 辛积分）支持 uniform（2阶蛙跳）和 yoshida4（4阶 Yoshida 组合）积分器
支持正常四极（
k1l）和斜四极（k1sl）及其组合零场（
k1l = k1sl = 0）时自动退化为纯漂移色品效应通过精确漂移自然引入
支持孔径检查
坐标约定
PASS 采用与 Xsuite 一致的归一化曲线坐标，六维相空间变量为 \((x, p_x, y, p_y, z, \delta)\) ：
变量 |
符号 |
定义 |
|---|---|---|
|
\(x\) |
水平偏移（相对于参考轨道） |
|
\(p_x\) |
归一化水平动量， \(p_x = P_x / P_0\) |
|
\(y\) |
垂直偏移 |
|
\(p_y\) |
归一化垂直动量， \(p_y = P_y / P_0\) |
|
\(\zeta\) |
纵向坐标， \(\zeta = s - \beta_0 c t\) |
|
\(\delta\) |
相对动量偏差， \(\delta = P / P_0 - 1\) |
其中 \(P_0\) 为参考粒子动量， \(\beta_0 = v_0 / c\) 为参考粒子归一化速度， \(s\) 为沿参考轨道的弧长， \(t\) 为时间。
纵向动量分量定义为：
荷质比因子：
对于同种粒子束 \(\chi = 1\) 。
四极磁场与归一化强度
四极磁铁的磁场在横向平面内线性分布。用复数表示：
其中 \(G\) 为正常四极梯度， \(G_s\) 为斜四极梯度。展开后：
归一化四极强度定义为：
积分强度为：
其中 \(L\) 为磁铁长度。PASS 中用户直接指定 \(K_{1L}\) （ k1l ）和 \(K_{1sL}\) （ k1sl ），厚透镜时内部自动解出 \(K_1 = K_{1L} / L\) 和 \(K_{1s} = K_{1sL} / L\) 。
整体追踪流程
根据磁铁长度，四极铁有两种追踪模式：
薄透镜模式 （ \(L = 0\) ）
====== 薄透镜 (length = 0) ======
单次四极踢角 Kick(K1L, K1sL)
[位置不变，仅动量跳变]
厚透镜模式 （ \(L > 0\) ）
====== 厚透镜 (length > 0) ======
切片1 → 切片2 → ... → 切片N
(每个切片: Drift(ds/2) → Kick(ds) → Drift(ds/2))
其中 ds = L / N
若 K1L = 0 且 K1sL = 0：退化为单次精确漂移 Drift(L)
完整映射为：
薄透镜：
厚透镜（N 个切片）：
其中每个切片的 DKD 映射为：
Note
薄透镜模式不改变粒子的位置坐标 \((x, y, z)\) ，仅施加动量踢角
厚透镜模式的色品效应通过精确漂移中的 \(p_z\) 表达式自然引入（见色品章节）
当 \(K_{1L} = 0\) 且 \(K_{1sL} = 0\) 时，厚透镜退化为纯漂移，避免无意义的空踢角循环
物理推导
哈密顿量
在直线坐标系中（四极铁无曲率， \(h = 0\) ），四极铁的哈密顿量为：
将其拆分为传播部分（精确漂移 \(H_D\) ）和踢角部分（ \(H_K\) ）：
其中 \(H_D\) 是精确漂移哈密顿量（保留 \(p_z\) 的根号，不做小动量展开）， \(H_K\) 是四极踢角。这是 分裂算符法 （split-operator）的标准做法：将哈密顿量拆分为可解析求解的部分，分别施加映射，再组合为辛积分器。
精确漂移映射 D
传播部分的哈密顿方程给出精确直漂移：
其中 \(L_D\) 为漂移长度， \(\beta\) 为粒子实际归一化速度：
Note
“exact” 的含义：漂移部分保留精确根号 \(p_z = \sqrt{(1+\delta)^2 - p_x^2 - p_y^2}\) ，不做 \(p_x \ll 1\) 的小动量展开。近似仅在于将传播部分与踢角部分分离（分裂算符法）。该公式与漂移节（Drift）和二极铁（SBend）中的精确漂移完全一致。
四极踢角映射 K
踢角部分为薄透镜映射（位置不变，仅动量跳变）。由哈密顿方程 \(\dot{p}_x = -\partial H / \partial x\) ， \(\dot{p}_y = -\partial H / \partial y\) 得：
其中 \(L_K\) 为踢角有效长度。
各项物理含义：
项 |
来源 |
物理含义 |
|---|---|---|
\(-\chi K_1 L_K \cdot x\) |
\(\frac{\chi K_1 x^2}{2}\) |
水平正常四极聚焦（ \(K_1 > 0\) 时聚焦， \(K_1 < 0\) 时散焦） |
\(+\chi K_1 L_K \cdot y\) |
\(-\frac{\chi K_1 y^2}{2}\) |
垂直正常四极散焦（与水平反向） |
\(+\chi K_{1s} L_K \cdot y\) |
\(\chi K_{1s} x y\) |
斜四极水平耦合踢角 |
\(+\chi K_{1s} L_K \cdot x\) |
\(\chi K_{1s} x y\) |
斜四极垂直耦合踢角 |
对于薄透镜模式， \(L_K = 1\) ，直接使用积分强度 \(K_{1L}\) 和 \(K_{1sL}\) 。对于 DKD 模式， \(L_K = \Delta s\) ，使用 \(K_1 \Delta s\) 和 \(K_{1s} \Delta s\) 。
Note
正常四极铁（ \(K_1 > 0\) ）在水平方向聚焦、垂直方向散焦，这是四极磁场 \(B_y = G \cdot x\) 的直接结果：偏离轴线的粒子受到与偏移成正比的力，水平方向恢复力（聚焦），垂直方向排斥力（散焦）。要实现两个方向同时聚焦，需要交替排列聚焦四极铁（F）和散焦四极铁（D），即 FODO 结构。
斜四极铁（ \(K_{1s} \neq 0\) ）将聚焦作用旋转 \(\pi / 4\) ，产生 \(x\) - \(y\) 耦合。实际中常用于耦合校正或模拟安装旋转误差。
uniform 积分器（2阶辛）
每个切片采用漂移-踢角-漂移（DKD）结构，即二阶蛙跳（leapfrog）：
每个切片误差为 \(O(\Delta s^3)\) ，全局误差为 \(O(\Delta s^2)\) 。二阶辛积分器，每步都是正则变换。
yoshida4 积分器（4阶辛）
通过组合三个二阶 DKD 步构造四阶辛映射 [Yoshida 1990]：
其中 Yoshida 系数为：
Note
\(z_0 < 0\) 意味着中间一步是反向追踪（漂移和踢角的 “长度” 为负）。这是 Yoshida 组合方法的数学要求，在辛映射群中完全自洽。每个切片误差为 \(O(\Delta s^5)\) ，全局误差为 \(O(\Delta s^4)\) 。
积分器选择建议：
场景 |
推荐积分器 |
原因 |
|---|---|---|
快速模拟 |
uniform |
每切片 2 次漂移 + 1 次踢角，计算量小 |
高精度模拟 |
yoshida4 |
4 阶精度，但每切片 6 次漂移 + 3 次踢角 |
含空间电荷 |
uniform + 更多切片 |
PIC 求解开销远大于漂移，4阶 Yoshida 需要 3 次 PIC 求解 |
色品效应
色品（chromaticity）描述了粒子 tune 对动量偏差 \(\delta\) 的依赖。PASS 的 DKD-exact 模型通过精确漂移的 \(p_z\) 表达式自然引入色品，无需任何额外处理。
物理机制
在 DKD 积分中，漂移使用精确表达式 \(p_z = \sqrt{(1+\delta)^2 - p_x^2 - p_y^2}\) ，而踢角在 \((x, p_x)\) 空间中为 \(\Delta p_x = -\chi K_1 \Delta s \cdot x\) （不除以 \(1+\delta\) ）。
转换到 \((x, x')\) 空间（其中 \(x' = p_x / (1+\delta)\) ），等效聚焦强度自动变为：
这就是自然色品 \(Q'_x = -\frac{1}{4\pi}\oint \beta_x K_1 \, ds\) 的物理来源。代码中不需要显式做任何除法——精确漂移的 \(p_z\) 表达式自动完成了这件事。
薄透镜与厚透镜的色品对比
效应 |
薄透镜 |
厚透镜 DKD-exact |
|---|---|---|
自然色品（正常四极） |
不引入 |
引入（ \(K_{1,\text{eff}} = K_1/(1+\delta)\) ） |
耦合色品（斜四极） |
不引入 |
引入（耦合传输含 \(\delta\) 依赖） |
高阶非线性色散 |
不引入 |
引入（ \(p_z\) 保留完整根号） |
路径长度效应（ \(R_{56}\) 等） |
不引入 |
引入 |
物理上，薄透镜零长度无 drift 空间，踢角 \(\Delta p_x = -K_{1L}\,x\) 不含 \(\delta\) 。厚透镜中粒子在磁铁内部有漂移路径，不同动量粒子走不同路径、感受不同有效聚焦——这就是色品的来源。斜四极同理，drift 中的 \(p_z\) 依赖使耦合传输也含 \(\delta\) 依赖，引入耦合色品。
Note
薄透镜模式（
length = 0）不存在路径长度效应，因此薄透镜四极铁本身 不引入自然色品 ——无论正常四极还是斜四极厚透镜 DKD-exact 模式完整包含自然色品效应，包括高阶非线性色散项
与 Xsuite 的 mat-kick-mat 模型不同（显式除以 \(1+\delta\) ），PASS 的 DKD-exact 是通过精确 \(p_z\) 隐式引入的，还包含了 \(p_z\) 的高阶非线性效应
在 PASS 的 Twiss 线性传输框架中，自然色品通过
DQx/DQy参数（相移中的 \(\delta\) 项）引入，而非通过元件本身。若在 Twiss 传输中额外插入薄透镜四极铁，不会与DQx重复计数色品——因为薄透镜本身不引入色品。但若插入的四极铁强度较大，显著改变了 lattice 的 tune 和 \(\beta\) 函数，则原有 Twiss 参数（包括DQx）不再准确，需重新计算
接口参数
属性名 |
JSON key |
类型 |
单位 |
说明 |
|---|---|---|---|---|
|
|
float |
m |
元件在束线中的纵向位置 |
|
|
float |
m |
元件长度 （必须 \(\ge 0\) ； \(= 0\) 时为薄透镜） |
|
|
str |
元件名称 |
|
|
|
float |
\(\text{m}^{-1}\) |
正常四极积分强度 \(K_{1L}\) ，默认 0 |
|
|
float |
\(\text{m}^{-1}\) |
斜四极积分强度 \(K_{1sL}\) ，默认 0 |
|
|
int |
切片数，默认 1（仅厚透镜有效） |
|
|
|
str |
积分器，可选： |
|
|
|
str |
孔径类型，默认 |
|
|
|
list |
孔径参数值，默认 |
使用示例
厚透镜正常四极铁
{
"QF1": {
"S (m)": 10.0,
"Command": "Quadrupole",
"Length (m)": 0.5,
"K1L": 0.2,
"Num Slices": 5,
"Integrator": "yoshida4",
"Aperture Type": "off"
}
}
聚焦四极铁（ \(K_{1L} > 0\) ），长度 0.5 m，5 个切片，4 阶辛积分。
薄透镜四极铁
{
"QF2": {
"S (m)": 20.0,
"Command": "Quadrupole",
"Length (m)": 0.0,
"K1L": 0.3,
"Aperture Type": "off"
}
}
零长度四极铁，仅施加 \(K_{1L}\) 薄透镜踢角，无 body 追踪，无色品效应。
散焦四极铁
{
"QD1": {
"S (m)": 30.0,
"Command": "Quadrupole",
"Length (m)": 0.4,
"K1L": -0.15,
"Num Slices": 1,
"Integrator": "uniform",
"Aperture Type": "off"
}
}
散焦四极铁（ \(K_{1L} < 0\) ），水平散焦、垂直聚焦。
斜四极铁
{
"QS1": {
"S (m)": 40.0,
"Command": "Quadrupole",
"Length (m)": 0.3,
"K1L": 0.0,
"K1SL": 0.1,
"Num Slices": 1,
"Integrator": "uniform",
"Aperture Type": "off"
}
}
纯斜四极铁（ \(K_{1L} = 0\) , \(K_{1sL} \neq 0\) ），产生 \(x\) - \(y\) 耦合。
正常 + 斜四极组合
{
"QFS1": {
"S (m)": 50.0,
"Command": "Quadrupole",
"Length (m)": 0.5,
"K1L": 0.2,
"K1SL": 0.05,
"Num Slices": 3,
"Integrator": "yoshida4",
"Aperture Type": "circle",
"Aperture Value": [0.04]
}
}
同时含正常和斜四极分量的组合四极铁（模拟安装旋转误差），带圆形孔径检查。
带旋转角的等效表示
一个 \(K_{1L} = 0.2\) 的正常四极铁旋转角度 \(\theta = 0.01\) rad 后，等效为：
{
"QF_rot": {
"S (m)": 60.0,
"Command": "Quadrupole",
"Length (m)": 0.5,
"K1L": 0.19996,
"K1SL": 0.004,
"Num Slices": 1,
"Integrator": "uniform"
}
}
应用场景
线性聚焦 ：在 FODO 结构中交替排列聚焦（F）和散焦（D）四极铁，实现束流的横向约束
色品校正 ：利用四极铁的自然色品效应，通过调整六极铁补偿色品
耦合校正 ：使用斜四极铁（
k1sl）控制 \(x\) - \(y\) 耦合，校正安装误差Tune 调整 ：通过调整四极铁强度改变工作点（tune），将束流调至最佳工作区域
色散匹配 ：在弯铁后设置四极铁，调节色散函数 \(\eta(s)\) 的演化
束流传输线 ：在注入线和引出线中使用四极铁聚焦束流，控制束流包络
参考文献
Xsuite Physics Guide, Sec 1.10.3 (精确漂移), Sec 1.10.5 (四极铁)
Xsuite 源码：
xtrack/beam_elements/elements_src/quadrupole.h,track_magnet.h,track_magnet_kick.h,track_magnet_drift.hYoshida, H., “Construction of higher order symplectic integrators”, Phys. Lett. A 150 (1990)
MAD-X 物理手册：四极磁场与线性传输