四极铁（Quadrupole）

本模块介绍 PASS 中的四极铁元件 Quadrupole ，用于模拟带电粒子在四极磁铁中的运动。四极铁是加速器中最基本的聚焦元件，通过梯度磁场提供线性聚焦力。

PASS 中的四极铁支持 厚元件 （ length > 0 ）和 薄透镜 （ length = 0 ）两种模式。厚元件提供两种跟踪模型： drift-kick-drift-exact （DKD-exact）采用精确漂移-动量更新-漂移辛积分方案，支持 uniform（2阶）和 yoshida4（4阶）两种辛积分器； mat-kick-mat （MKM，默认）采用精确线性传输矩阵方案，对纯线性场一次切片即精确。

  • 核心特征：

    • 支持薄透镜模式（ length = 0 ，仅施加四极动量更新）

    • 支持厚透镜模式（ length > 0 ，DKD-exact 辛积分或 MKM 精确线性矩阵）

    • 支持 uniform（2阶蛙跳）和 yoshida4（4阶 Yoshida 组合）积分器

    • 支持 mat-kick-mat (MKM) 模型（精确线性传输矩阵，含色品）

    • MKM 模型通过旋转对角化处理 k1+k1s 组合

    • 支持正四极（ k1l ）和斜四极（ k1sl ）及其组合

    • 零场（ k1l = k1sl = 0 ）时自动退化为纯漂移

    • 色品效应通过精确漂移自然引入

    • 支持孔径检查

以下接口中的字段用于 PASS.para.schema.elements.QuadrupoleItem 配置类； 元件名称由 Sequence.add(name, item) 的序列键给出，不是配置类字段。

接口参数

Python 配置字段

JSON 键

类型

单位

默认值

说明

s

S (m)

float

m

必填

元件出口或零长度作用点的纵向位置。

length

Length (m)

float

m

0.0

元件长度 （必须 \(\ge 0\) ； \(= 0\) 时为薄透镜）

k1l

K1L

float

\(\text{m}^{-1}\)

0.0

正四极积分强度 \(K_{1L}\) ，默认 0

k1sl

K1SL

float

\(\text{m}^{-1}\)

0.0

斜四极积分强度 \(K_{1sL}\) ，默认 0

model

Model

str

'adaptive'

物理模型，可选： adaptive （默认 mat-kick-mat ）、 drift-kick-drift-exact 、 mat-kick-mat

f1

F1 (m)

float

m

0.0

PTC/SAD 四极端场积分，允许正负，须有限。

f2

F2 (m3)

float

\(\mathrm{m}^3\)

0.0

PTC/SAD 四极端场积分，允许正负，须有限。

fringe

FRINGE

int

—

0

MAD-X 位选择值；2 启用内置多极端场，4 启用四极 F1/F2。

frngmax

FRNGMAX

int

—

2

内置端场的最高极序：2 为四极，3 为六极，4 为八极。

kill_ent_fringe

KILL_ENT_FRINGE

bool

—

False

屏蔽物理入口的全部已启用端场映射。

kill_exi_fringe

KILL_EXI_FRINGE

bool

—

False

屏蔽物理出口的全部已启用端场映射。

num_slices

Num slices

int

1

1

切片数，默认 1（仅厚透镜有效）

integrator

Integrator

str

'adaptive'

积分器，可选： adaptive （默认 uniform ）、 uniform 、 yoshida4

aperture_type

Aperture type

str

—

'off'

孔径类型，默认 off

aperture_value

Aperture value

list

m / rad

[]

孔径参数值，默认 []

正、斜分量的时变强度可设置 is_ramping=True 与 ramping_file="magnet_ramp.tfs"``（JSON：``Is ramping、Ramping file）。 TFS 列名、单位和入口采样约定见 磁铁 ramping。每个非空 bunch 在入口 采样一次，强度在整个元件内冻结。运行时名义强度保留最后执行的 bunch 入口值， 场误差独立保存。同一页面也说明 update_strengths 的用法。

物理入口和出口端场映射

Quadrupole、Sextupole、Octupole 和厚 Multipole 支持正、斜多极分量的 内置端场映射。Quadrupole 还支持 PTC/SAD 的 F1、F2 映射。 这两个参数是带符号的场分布积分，单位分别为米、立方米，并非入口、出口边缘角。

FRINGE 使用 MAD-X 的位约定，取 0 到 7 的整数：位值 2 启用内置 多极端场，位值 4 启用四极 F1/F2 分支，位值 1 对这些直磁铁无效。 因此 0 关闭两者，2 仅启用内置端场，4 仅启用 F1/F2，6 同时启用两者。 默认值为 0，保留无端场的原有传输。仅设置非零 F1/F2 不会启用该分支。

FRNGMAX 指定内置分支包含的最高极序：1 为二极，2 为四极，3 为六极， 4 为八极。默认值为 2，必须为正整数。它限制参与端场映射的磁场分量， 并非横向振幅 Taylor 展开的最高幂次，也不屏蔽独立的 F1/F2 分支。 包含六极端场时应设置 FRNGMAX=3，包含八极端场时设置 FRNGMAX=4。 二极分量可参与组合多极端场映射；独立二极铁使用 SBend。与 PTC 一致， 仅包含二极阶的多极元件不施加内置直磁铁端场映射。

入口映射、本体、出口映射依次在磁铁局部对准坐标系执行。每个物理端面只施加 一次端场，不随数值切片或 Yoshida 子步重复。KILL_ENT_FRINGE、 KILL_EXI_FRINGE 分别屏蔽该端全部已启用分支。端场与本体使用相同的 bunch 入口时刻采样的名义强度，并包含已启用的绝对正、斜场误差。 体梯度由积分强度除以物理长度获得，因此启用的非零端场要求正长度； 零长度积分动量更新本身不能确定该梯度。

映射保持粒子动量大小，并按横向正则映射一致地更新纵向时间坐标。 CPU 与 GPU 使用相同物理模型。本体积分精度仍需独立检验：与 PTC 精确传输 对比时采用 model="drift-kick-drift-exact"，并检查切片收敛。

入口先执行内置端场，再执行 F1/F2；出口的顺序相反。F1 系数在两端 反号，F2 系数则保持同号。对于 TIME=TRUE，PASS 的 \((z,\delta)\) 对应的 MAD-X PTC 外部正则坐标为

\[t=z/\beta_0,\qquad P_T=\frac{\sqrt{1+\beta_0^2\delta(2+\delta)}-1}{\beta_0}.\]

PTC 内部时间坐标的符号相反，为 \(ct=-z/\beta_0\)。

实现依据 PTC 内置端场映射 与 PTC 四极端场映射。

PASS 依据元件显式 FRINGE 位启用端场。PTC 的独立全局开关 PTC_SETSWITCH,FRINGE=TRUE 还会在元件未设置对应位时启用内置多极端场。 因此 PASS 导入 sequence 计算 PTC 光学时使用 PTC_SETSWITCH,TIME=TRUE,FRINGE=FALSE，并保留导入元件的参数。 该全局设置保留二极铁原有的端面/端场模型与四极显式 FRINGE=6； 没有启用元件端场位的直磁铁不施加内置端场。 独立运行 PTC 追踪时，应使用相同的全局设置和元件参数。 若外部脚本保留全局 FRINGE=TRUE，应显式屏蔽不需要端场的磁铁两端。 普通 MAD-X TWISS 不实现 PTC/SAD 的 F1/F2 分支。

使用示例

厚透镜正四极铁

{
    "QF1": {
        "S (m)": 10.0,
        "Command": "Quadrupole",
        "Length (m)": 0.5,
        "K1L": 0.2,
        "Num slices": 5,
        "Integrator": "yoshida4",
        "Aperture type": "off"
    }
}

聚焦四极铁（ \(K_{1L} > 0\) ），长度 0.5 m，5 个切片，4 阶辛积分。

MKM 模型四极铁

{
    "QF1": {
        "S (m)": 10.0,
        "Command": "Quadrupole",
        "Length (m)": 0.5,
        "K1L": 0.2,
        "Model": "mat-kick-mat",
        "Num slices": 1,
        "Aperture type": "off"
    }
}

本例只有纯线性场，一个 MKM 矩阵段即可求解所用近轴方程。加入场误差或内部空间电荷后，应另行检查分裂作用的数值收敛。

薄透镜四极铁

{
    "QF2": {
        "S (m)": 20.0,
        "Command": "Quadrupole",
        "Length (m)": 0.0,
        "K1L": 0.3,
        "Aperture type": "off"
    }
}

零长度四极铁，仅施加 \(K_{1L}\) 薄透镜动量更新，无有限长度本体输运；它在完整格架中的色品作用见下文。

散焦四极铁

{
    "QD1": {
        "S (m)": 30.0,
        "Command": "Quadrupole",
        "Length (m)": 0.4,
        "K1L": -0.15,
        "Num slices": 1,
        "Integrator": "uniform",
        "Aperture type": "off"
    }
}

散焦四极铁（ \(K_{1L} < 0\) ），水平散焦、垂直聚焦。

斜四极铁

{
    "QS1": {
        "S (m)": 40.0,
        "Command": "Quadrupole",
        "Length (m)": 0.3,
        "K1L": 0.0,
        "K1SL": 0.1,
        "Num slices": 1,
        "Integrator": "uniform",
        "Aperture type": "off"
    }
}

纯斜四极铁（ \(K_{1L} = 0\) , \(K_{1sL} \neq 0\) ），产生 \(x\) - \(y\) 耦合。

正、斜分量四极组合

{
    "QFS1": {
        "S (m)": 50.0,
        "Command": "Quadrupole",
        "Length (m)": 0.5,
        "K1L": 0.2,
        "K1SL": 0.05,
        "Num slices": 3,
        "Integrator": "yoshida4",
        "Aperture type": "circle",
        "Aperture value": [0.04]
    }
}

同时含正、斜四极分量的组合四极铁（模拟安装旋转误差），带圆形孔径检查。

带旋转角的等效表示

一个 \(K_{1L} = 0.2\) 的正四极铁旋转角度 \(\theta = 0.01\) rad 后，等效为：

\[K_{1L}' = K_{1L} \cos 2\theta \approx 0.2 \times 0.9998 = 0.19996\]
\[K_{1sL}' = K_{1L} \sin 2\theta \approx 0.2 \times 0.02 = 0.004\]
{
    "QF_rot": {
        "S (m)": 60.0,
        "Command": "Quadrupole",
        "Length (m)": 0.5,
        "K1L": 0.19996,
        "K1SL": 0.004,
        "Num slices": 1,
        "Integrator": "uniform"
    }
}

坐标约定

采用 纵向坐标与参考到达时间 的连续纵向坐标。 \(T_b\) 是理想参考粒子在当前位置的实际通过时刻，不是束团质心时刻； 局部映射中的 \(\beta_0\) 和 \(P_0\) 表示当前束团参考量。 \(p_x=P_x/P_0\) 是归一化动量，不是轨迹斜率。

正、斜四极强度都为零时，CPU 和 GPU 均使用精确漂移，包括选择 mat-kick-mat 的情况。非零场矩阵模型将额外路程 \(\Delta\ell=\ell-L\) 单独累加。令 \(r=-\gamma_0^{-2}\delta(2+\delta)/(1+\delta)^2\)，等价的纵向更新为 \(\Delta z=-\Delta\ell-(L+\Delta\ell)r/(\sqrt{1+r}+1)\)。 这保留了高能下微小的速度和路程修正，不改变矩阵模型的近轴近似和动量归一化。

PASS 采用归一化曲线坐标，六维相空间变量为 \((x, p_x, y, p_y, z, \delta)\) ：

变量

符号

定义

x

\(x\)

水平偏移（相对于参考轨道）

px

\(p_x\)

归一化水平动量， \(p_x = P_x / P_0\)

y

\(y\)

垂直偏移

py

\(p_y\)

归一化垂直动量， \(p_y = P_y / P_0\)

z

\(\zeta\)

纵向坐标， \(z=\zeta=\beta_b c(T_b-t_i)\)

dp

\(\delta\)

相对动量偏差， \(\delta = P / P_0 - 1\)

其中 \(P_0\) 为参考粒子动量， \(\beta_0 = v_0 / c\) 为参考粒子归一化速度， \(s\) 为沿参考轨道的弧长， \(t\) 为时间。

纵向动量分量定义为：

\[p_z = \sqrt{(1+\delta)^2 - p_x^2 - p_y^2}\]

荷质比因子：

\[\chi = \frac{q}{q_0} \cdot \frac{m_0}{m}\]

对于同种粒子束 \(\chi = 1\) 。

四极磁场与归一化强度

四极磁铁的磁场在横向平面内线性分布。用复数表示：

\[B_y + i B_x = (G + i G_s)(x + i y)\]

其中 \(G\) 为正四极梯度， \(G_s\) 为斜四极梯度。展开后：

\[B_y = G \cdot x - G_s \cdot y\]
\[B_x = G \cdot y + G_s \cdot x\]

归一化四极强度定义为：

\[K_1 = \frac{q_0 G}{P_0}\]
\[K_{1s} = \frac{q_0 G_s}{P_0}\]

积分强度为：

\[K_{1L} = K_1 \cdot L, \qquad K_{1sL} = K_{1s} \cdot L\]

其中 \(L\) 为磁铁长度。PASS 中用户直接指定 \(K_{1L}\) （ k1l ）和 \(K_{1sL}\) （ k1sl ），厚透镜时内部自动解出 \(K_1 = K_{1L} / L\) 和 \(K_{1s} = K_{1sL} / L\) 。

整体跟踪流程

根据磁铁长度，四极铁有两种跟踪模式：

薄透镜模式 （ \(L = 0\) ）

====== 薄透镜 (length = 0) ======

单次四极动量更新 Kick(K1L, K1sL)
[位置不变，仅动量跳变]

厚透镜模式 （ \(L > 0\) ）

DKD-exact 模型：

====== 厚透镜 DKD-exact (length > 0) ======

切片1 → 切片2 → ... → 切片N
(每个切片: Drift(ds/2) → Kick(ds) → Drift(ds/2))

其中 ds = L / N

若 K1L = 0 且 K1sL = 0：退化为单次精确漂移 Drift(L)

MKM 模型：

====== 厚透镜 mat-kick-mat (length > 0) ======

切片1 → 切片2 → ... → 切片N
(每个切片: M(ds)，精确线性传输矩阵)

对纯 k1 + k1s（无高阶多极场）：M(L) = M(ds)^N
纯线性场的单个矩阵段即可求解该模型；叠加场误差或内部空间电荷时仍需检查分裂步长。

完整映射为：

薄透镜：

\[\mathcal{M}_{\text{thin}} = \text{Kick}(K_{1L}, K_{1sL})\]

厚透镜（N 个切片）：

\[\mathcal{M}_{\text{thick}} = \left[\mathcal{M}_{\text{DKD}}(\Delta s)\right]^N\]

其中每个切片的 DKD 映射为：

\[\mathcal{M}_{\text{DKD}}(\Delta s) = D\!\left(\frac{\Delta s}{2}\right) \circ K(\Delta s) \circ D\!\left(\frac{\Delta s}{2}\right)\]

Note

  • 薄透镜模式不改变粒子的位置坐标 \((x, y, z)\) ，仅施加动量动量更新

  • 厚透镜模式的色品效应通过精确漂移中的 \(p_z\) 表达式自然引入（见色品章节）

  • 当 \(K_{1L} = 0\) 且 \(K_{1sL} = 0\) 时，厚透镜退化为纯漂移，避免无意义的空动量更新循环

物理推导

哈密顿量

在直线坐标系中（四极铁无曲率， \(h = 0\) ），四极铁的哈密顿量为：

\[H_{\text{quad}} = \frac{p_\tau}{\beta_0} - \sqrt{(1+\delta)^2 - p_x^2 - p_y^2} + \frac{\chi}{2}\left(K_1 x^2 - K_1 y^2 + 2 K_{1s} x y\right)\]

将其拆分为传播部分（精确漂移 \(H_D\) ）和动量更新部分（ \(H_K\) ）：

\[H_D = \frac{p_\tau}{\beta_0} - \sqrt{(1+\delta)^2 - p_x^2 - p_y^2}\]
\[H_K = \frac{\chi}{2}\left(K_1 x^2 - K_1 y^2 + 2 K_{1s} x y\right)\]

其中 \(H_D\) 是精确漂移哈密顿量（保留 \(p_z\) 的根号，不做小动量展开）， \(H_K\) 是四极动量更新。这是 分裂算符法 （split-operator）的标准做法：将哈密顿量拆分为可解析求解的部分，分别施加映射，再组合为辛积分器。

精确漂移映射 D

传播部分的哈密顿方程给出精确直漂移：

\[p_z = \sqrt{(1+\delta)^2 - p_x^2 - p_y^2}\]
\[x \leftarrow x + \frac{p_x}{p_z} \cdot L_D\]
\[y \leftarrow y + \frac{p_y}{p_z} \cdot L_D\]
\[\zeta \leftarrow \zeta + L_D \cdot \left(1 - \frac{\beta_0}{\beta} \cdot \frac{1+\delta}{p_z}\right)\]

其中 \(L_D\) 为漂移长度， \(\beta\) 为粒子实际归一化速度：

\[\beta = \frac{(1+\delta) \, \beta_0 \gamma_0}{\sqrt{1 + \left[(1+\delta) \, \beta_0 \gamma_0\right]^2}}\]

Note

“exact” 的含义：漂移部分保留精确根号 \(p_z = \sqrt{(1+\delta)^2 - p_x^2 - p_y^2}\) ，不做 \(p_x \ll 1\) 的小动量展开。近似仅在于将传播部分与动量更新部分分离（分裂算符法）。该公式与漂移节（Drift）和弯转磁铁（SBend）中的精确漂移完全一致。

四极动量更新映射 K

动量更新部分为薄透镜映射（位置不变，仅动量跳变）。由哈密顿方程 \(\dot{p}_x = -\partial H / \partial x\) ， \(\dot{p}_y = -\partial H / \partial y\) 得：

\[\Delta p_x = -\chi K_1 L_K \cdot x + \chi K_{1s} L_K \cdot y\]
\[\Delta p_y = +\chi K_1 L_K \cdot y + \chi K_{1s} L_K \cdot x\]

其中 \(L_K\) 为动量更新有效长度。

各项物理含义：

项

来源

物理含义

\(-\chi K_1 L_K \cdot x\)

\(\frac{\chi K_1 x^2}{2}\)

水平正四极聚焦（ \(K_1 > 0\) 时聚焦， \(K_1 < 0\) 时散焦）

\(+\chi K_1 L_K \cdot y\)

\(-\frac{\chi K_1 y^2}{2}\)

垂直正四极散焦（与水平反向）

\(+\chi K_{1s} L_K \cdot y\)

\(\chi K_{1s} x y\)

斜四极水平耦合动量更新

\(+\chi K_{1s} L_K \cdot x\)

\(\chi K_{1s} x y\)

斜四极垂直耦合动量更新

对于薄透镜模式， \(L_K = 1\) ，直接使用积分强度 \(K_{1L}\) 和 \(K_{1sL}\) 。对于 DKD 模式， \(L_K = \Delta s\) ，使用 \(K_1 \Delta s\) 和 \(K_{1s} \Delta s\) 。

Note

正四极铁（ \(K_1 > 0\) ）在水平方向聚焦、垂直方向散焦，这是四极磁场 \(B_y = G \cdot x\) 的直接结果：偏离轴线的粒子受到与偏移成正比的力，水平方向恢复力（聚焦），垂直方向排斥力（散焦）。要实现两个方向同时聚焦，需要交替排列聚焦四极铁（F）和散焦四极铁（D），即 FODO 结构。

斜四极铁（ \(K_{1s} \neq 0\) ）将聚焦作用旋转 \(\pi / 4\) ，产生 \(x\) - \(y\) 耦合。实际中常用于耦合校正或模拟安装旋转误差。

uniform 积分器（2阶辛）

每个切片采用漂移-动量更新-漂移（DKD）结构，即二阶蛙跳（leapfrog）：

\[S_2(\Delta s) = D\!\left(\frac{\Delta s}{2}\right) \circ K(\Delta s) \circ D\!\left(\frac{\Delta s}{2}\right)\]

每个切片误差为 \(O(\Delta s^3)\) ，全局误差为 \(O(\Delta s^2)\) 。二阶辛积分器，每步都是正则变换。

yoshida4 积分器（4阶辛）

通过组合三个二阶 DKD 步构造四阶辛映射 [Yoshida 1990]：

\[S_4(\Delta s) = S_2(z_1 \Delta s) \circ S_2(z_0 \Delta s) \circ S_2(z_1 \Delta s)\]

其中 Yoshida 系数为：

\[z_1 = \frac{1}{2 - 2^{1/3}} \approx 1.3512\]
\[z_0 = 1 - 2 z_1 \approx -1.7024\]

Note

\(z_0 < 0\) 意味着中间一步是反向跟踪（漂移和动量更新的 “长度” 为负）。这是 Yoshida 组合方法的数学要求，在辛映射群中完全自洽。每个切片误差为 \(O(\Delta s^5)\) ，全局误差为 \(O(\Delta s^4)\) 。

积分器选择建议：

场景

推荐积分器

原因

快速模拟

uniform

每切片 2 次漂移 + 1 次动量更新，计算量小

高精度模拟

yoshida4

4 阶精度，但每切片 6 次漂移 + 3 次动量更新

含空间电荷

uniform + 更多切片

空间电荷作用次数由 Space charge.Num kicks 独立决定；外场 Yoshida 子步不增加 PIC 次数

色品效应

色品（chromaticity）描述了粒子 工作点 对动量偏差 \(\delta\) 的依赖。PASS 的 DKD-exact 模型通过精确漂移的 \(p_z\) 表达式自然引入色品，无需任何额外处理。

物理机制

在 DKD 积分中，漂移使用精确表达式 \(p_z = \sqrt{(1+\delta)^2 - p_x^2 - p_y^2}\) ，而动量更新在 \((x, p_x)\) 空间中为 \(\Delta p_x = -\chi K_1 \Delta s \cdot x\) （不除以 \(1+\delta\) ）。

转换到 \((x, x')\) 空间（其中 \(x' = p_x / (1+\delta)\) ），等效聚焦强度自动变为：

\[K_{1,\text{eff}} = \frac{K_1}{1+\delta}\]

这就是自然色品 \(Q'_x = -\frac{1}{4\pi}\oint \beta_x K_1 \, ds\) 的物理来源。代码中不需要显式做任何除法——精确漂移的 \(p_z\) 表达式自动完成了这件事。

薄透镜与格架色品

零长度四极铁不增加飞行路程，归一化动量更新为 \(\Delta p_x=-K_{1L}x\)。该式不显含 \(\delta\)，但在近轴近似下 \(x'=p_x/(1+\delta)\)，因而

\[\Delta x'=-\frac{K_{1L}}{1+\delta}x.\]

因此，由薄透镜四极铁和漂移段组成的格架仍可具有自然色品；不能把孤立动量更新中 没有显式 \(\delta\) 因子理解为工作点与动量无关。斜四极的耦合作用也须按整环映射分析。

使用 Twiss 传输时，DQx、DQy 给出预先指定的动量相关相移。 额外插入四极场会改变组合光学，应重新核对闭轨、Twiss 参数和工作点随动量的变化， 而不能仅由元件长度为零断言不会改变色品或重复计入已有光学作用。

跟踪模型对比

PASS 四极铁支持两种厚透镜体模型，适用于不同精度和速度需求。

模型概述

drift-kick-drift-exact (DKD-exact) ：将哈密顿量拆分为精确漂移和薄透镜动量更新，通过辛分裂法组合。保留完整 \(p_z\) 非线性运动学，但线性聚焦和色品有辛分裂误差（可通过增加切片数或使用高阶积分器控制）。

mat-kick-mat (MKM) ：求解线性化运动方程 \(u'' + K_{\text{eff}} \chi/(1+\delta) \cdot u = 0\) 的解析精确解，用三角函数（聚焦平面）和双曲函数（散焦平面）构造传输矩阵。它对所用近轴运动方程采用解析解，并累积该模型中的路程增量；不包含完整 \(p_z\) 根号中的高阶横向运动学。

对比表

特性

drift-kick-drift-exact

mat-kick-mat

线性聚焦

由所选二阶或四阶积分器决定的分裂近似

精确（解析矩阵）

线性色品

随所选积分阶数收敛的分裂近似

近轴模型的解析解（显式保留动量依赖）

非线性运动学

保留（完整 \(p_z\) 根号）

不包含（线性化 \(x' = p_x/(1+\delta)\) ）

纵向 \(R_{56}\)

近似

精确（解析公式）

路程增量

来自精确漂移运动学

保留近轴二次路程增量，未保留完整高阶运动学

辛性

严格辛

辛（矩阵是辛的）

计算速度

与子步数和硬件有关

与矩阵运算、切片数和硬件有关

MKM 传输矩阵

MKM 求解线性化方程的精确解。对纯 \(K_1\) 四极铁， u 平面（聚焦）使用 sin/cos 矩阵， v 平面（散焦）使用 sinh/cosh 矩阵，等效强度 \(K = K_1 \chi / (1+\delta)\) 逐粒子计算。

对 \(K_1 + K_{1s}\) 组合四极铁，采用 旋转对角化 ：

\[\theta = \frac{1}{2}\operatorname{atan2}(-K_{1s},K_1), \quad K_{\text{eff}} = \sqrt{K_1^2 + K_{1s}^2}\]

旋转到主轴框架后施加矩阵，再旋转回来。关键性质： \(\theta\) 与 \(\delta\) 无关（ \(K_1\) 和 \(K_{1s}\) 按 \(\chi/(1+\delta)\) 等比例缩放，比值不变），因此该旋转与粒子动量偏差无关。

特殊情况：

物理状态

\(K_1\)

\(K_{1s}\)

\(\theta\)

正四极

\(K_{\text{eff}}\)

0

0（不旋转）

纯斜四极

0

\(K_{\text{eff}}\)

\(-\pi/4\) （正斜四极分量，采用上述坐标变换）

组合四极

非零

非零

\(\frac{1}{2}\operatorname{atan2}(-K_{1s},K_1)\)

对纯 \(K_1 + K_{1s}\) （无高阶多极场），矩阵对任意切片长度 \(\Delta s\) 精确，单个矩阵段即可求解所用线性方程。场误差或内部空间电荷加入分裂作用后，仍应检查切片及作用节点的收敛。

MKM 的局限性

MKM 将运动学线性化： \(x' = p_x / (1+\delta)\) ，而非精确的 \(x' = p_x / p_z\) 。展开后：

\[\frac{p_x}{p_z} = \frac{p_x}{1+\delta}\left(1 + \frac{p_x^2 + p_y^2}{2(1+\delta)^2} + \cdots\right)\]

MKM 保留近轴横向方程及其二次路程积分，不包含完整根号运动学的高阶横向项。 其有效聚焦强度仍含 \(1/(1+\delta)\)，因此不能据此断言所有高阶色品为零。 研究大振幅非线性运动时，应同时检查模型近似和数值收敛；改变积分切片数不能补回模型中省略的项。

切片数与积分器建议

模型

推荐切片数

推荐积分器

说明

mat-kick-mat

1

— ¹

纯线性场使用一个矩阵段；加入分裂作用后须检查收敛

drift-kick-drift-exact

需测试 ²

yoshida4

切片数需通过收敛测试确定

¹ 纯 MKM 主体采用解析矩阵；场误差等分裂作用仍需设置和检查相应的积分方案。

² DKD-exact 切片数选择建议：

  • 切片数需通过 收敛测试 确定：对比不同切片数下的 工作点 和色品，确认收敛

  • 在光滑场假设下，uniform 的全局分裂误差为二阶，yoshida4 为四阶；仍需对所研究的观测量检查收敛

  • yoshida4 积分器每切片误差为 \(O(\Delta s^5)\) ，全局误差 \(O(\Delta s^4)\) ，上述阶数成立于相应的光滑场与分裂近似条件下

绝对正、斜多极场误差与静态 DX/DY/DPSI 准直误差使用公共 元件误差 接口。 准直只移动磁场，孔径和 SC 边界保持在设计坐标系。

应用场景

  • 线性聚焦 ：在 FODO 结构中交替排列聚焦（F）和散焦（D）四极铁，实现束流的横向约束

  • 色品校正 ：利用四极铁的自然色品效应，通过调整六极铁补偿色品

  • 耦合校正 ：使用斜四极铁（ k1sl ）控制 \(x\) - \(y\) 耦合，校正安装误差

  • Tune 调整 ：通过调整四极铁强度改变工作点（工作点），将束流调至最佳工作区域

  • 色散匹配 ：在弯铁后设置四极铁，调节色散函数 \(\eta(s)\) 的演化

  • 束流传输线 ：在注入线和引出线中使用四极铁聚焦束流，控制束流包络

参考文献

  • Xsuite Physics Guide, Sec 1.10.3 (精确漂移), Sec 1.10.5 (四极铁)

  • Xsuite 源码： xtrack/beam_elements/elements_src/quadrupole.h , track_magnet.h , track_magnet_kick.h , track_magnet_drift.h

  • Yoshida, H., “Construction of higher order symplectic integrators”, Phys. Lett. A 150 (1990)

  • MAD-X 物理手册：四极磁场与线性传输

元件内部空间电荷

正长度元件可设置 space_charge （JSON Space charge）为 ElementSpaceCharge 对象。Num slices 控制外场传输， Space charge.Num kicks 控制 SC 积分。调度规则、共享资源、 支持的后端和示例见 元件切片与内部空间电荷。